发电机短路电流的计算模型、电抗分析与公式比较

技术支持/康明斯 Cummins

发布时间：2023-09-06 13:56:13 ▏阅读：次

摘要：在柴油发电机组运行设计中，同步无刷发电机以其稳定的工作性能、成熟的运用技术，在发电设备上得到了广泛应用。在设计柴油发电机供电系统时，短路电流是衡量系统稳定性、上下级电气配电设备选型的重要参数之一。对于柴油发电机短路电流的计算，可依据《工业与民用配电设计手册》（第四版）4.5章节的相关公式。然而，该章节的计算公式与国际计算通式相比略有不同，对广大工程设计者造成一定的困惑。康明斯公司在本文中将柴油发电机短路电流计算公式的由来，进行具体阐述与比较，从而解决该问题。

一、柴油发电机理想动态RL模型

1. 同步发电机短路瞬态过程的物理机理

柴油发电机本质上是同步发电机。当发电机端部发生三相短路时，其短路电流由周期分量（交流分量）和非周期分量（直流分量）叠加而成，且周期分量的幅值随时间逐渐衰减。这一衰减现象的根本原因在于发电机内部磁场的动态变化过程。

（1）短路瞬间的磁链守恒原理

根据电磁感应定律中的磁链守恒原理，在短路发生的瞬间，通过闭合回路的磁链不能发生突变。当发电机端电压突降至零时，定子绕组中的电流必须产生一个与短路前相同的磁场，以维持磁链不变。这就导致定子电流中除了正常的交流分量外，还叠加了一个直流衰减分量（非周期分量），该分量按指数规律衰减。

（2）转子绕组中的感应电流效应

短路瞬间，定子电流的骤增产生强烈的电枢反应，其去磁作用试图削弱气隙主磁通。为抵消这一去磁效应，转子励磁绕组和阻尼绕组（若有）中会感应出附加电流，这些电流反过来维持气隙磁通，从而延缓了短路电流的衰减。随着时间推移，阻尼绕组中的感应电流因电阻损耗而迅速衰减（超瞬态阶段），随后励磁绕组中的感应电流也逐渐衰减（瞬态阶段），最终仅由励磁绕组的外部电源维持稳态短路电流。

（3）三个衰减阶段的物理意义

超瞬态阶段（短路后0～0.05秒）：阻尼绕组和励磁绕组均参与作用，等效电抗最小（ $X_{d}^{''}$ ），短路电流最大。

瞬态阶段（短路后0.05～0.5秒）：阻尼绕组电流已衰减殆尽，仅励磁绕组参与作用，等效电抗次之（ $X_{d}^{'}$ ）。

稳态阶段（短路后0.5秒以后）：励磁绕组中的感应电流也已衰减完毕，仅由直流励磁电源维持磁场，等效电抗最大（ $X_{d}$ ），短路电流最小。

2. 理想动态R-L电路模型

采用假想等效发电机方法，其理想动态模型是一个串联R-L电路。当负载发生变化和故障生成的时候，发电机将出现动态短路行为。当 $t = 0$ 之后，开关闭合，整个模型近似为空载三相短路。同时，假设故障点处的阻抗为零，且在开关闭合前，电路电流为0，电压源的交流电初始相位角为 $α ，即$ $v (t) = V_{m} \sin (ω t + α) 。$

（1）R-L电路微分方程的建立

根据基尔霍夫电压定律（KVL），闭合回路的电压方程为：

$0 = V_{m} \sin (ω t + α) - R i (t) - L \frac{d i (t)}{d t}$

整理为标准形式：

$L \frac{d i (t)}{d t} + R i (t) = V_{m} \sin (ω t + α) ....................(公式1)$

（2）微分方程的稳态解与暂态解

该一阶线性非齐次常微分方程的完全解由两部分组成：稳态特解（交流分量）和暂态通解（直流分量）。

稳态特解（交流分量）：反映电路在交流电压源激励下的稳态响应，其幅值为 $V_{m} / Z$ ，相位滞后于电压源一个角度 $γ$ 。

暂态通解（直流分量）：反映电路在开关闭合瞬间的暂态响应，其幅值取决于开关闭合时刻的相位角 $α ，按时间常数$ $τ = L / R 指数衰减。$

（3）关键参数定义

$τ = \frac{L}{R} = \frac{X}{ω R} = \frac{X}{2 π f R}, γ = \tan^{- 1} (\frac{ω L}{R}), Z = \sqrt{R^{2} + ω^{2} L^{2}} ....................(公式2)$

其中：

$τ$ —— 直流分量的衰减时间常数，单位为秒， $τ$ 越大，直流分量衰减越慢；

$γ$ —— 电路阻抗角，反映电感对电流的滞后作用；

$Z$ —— 电路总阻抗，为电阻分量与电感分量的矢量和。

（4）短路电流全响应表达式

$I_{a c} (t) = \frac{V_{m}}{Z} \sin (ω t + α - γ) ....................(公式3)$
$I_{d c} (t) = \frac{V_{m}}{Z} e^{- t / τ} \sin (α - γ) ....................(公式4)$

全响应为：

$i (t) = I_{a c} (t) + I_{d c} (t)$

（5）直流分量初始值的讨论

从公式（4）可以看出，直流分量的初始值 $I_{d c} (0) = \frac{V_{m}}{Z} \sin (α - γ)$ 取决于短路发生的相位角 $α$ 。当 $α - γ = 0$ 时（即电压过零时发生短路），直流分量初始值为零，短路电流从一开始就是纯交流，不会出现冲击峰值；当 $α - γ = \pm 90^{\circ}$ 时（即电压峰值时发生短路），直流分量初始值最大，短路电流会出现最大的非对称冲击峰值，该峰值可达到对称短路电流有效值的2.55～2.7倍。

二、实际柴油发电机模型分析

实际中的柴油发电机短路电流波形，基本上与理想模型类似，但更为复杂。因为实际发电机包含多个磁耦合的绕组，变化的定子电流会导致动态的磁通量变化；动态的磁通量变化又会进一步激励转子中的瞬态电流；转子中的瞬态电流会与定子互感，从而形成互感电压。图1显示了一段现实中的柴油发电机的短路电流，可以清晰地看出直流非周期分量和交流周期分量。

1. 绕组组成

根据同步发电机交直轴理论，如图2所示，柴油发电机组的配置发电机一般由以下三部分组成：

（1）纵轴电枢反应磁通所走的磁路的磁阻（位于定子）；
（2）励磁绕组漏磁通所走的磁路的磁阻（位于转子）；
（3）阻尼绕组漏磁通所走的磁路的磁阻。

至此，可知同步发电机是由一系列磁耦合的、包含电感的绕组组成。在短路时，只有含有能量的部分才能对整个故障电流产生影响。因此整个发电机可近似为一组有着恒定电压 $E_{0}$ 的随时间变化的直轴电抗，其中交轴对短路电流影响较小，可忽略不计算（因为 $ω L ≫ R$ ，电压延迟电流90度）。

柴油发电机短路电流各部分分量.png

图1 柴油发电机短路电流各部分分量曲线

发电机物理平面示意图.png

图2 发电机物理平面示意图

2. 直轴电抗

直轴电抗由三部分组成，分别是：

（1）直轴超瞬态电抗 $X_{d}^{''}$ （对应超瞬态状态，即短路后第一个周波内）；
（2）直轴瞬态电抗 $X_{d}^{'}$ （对应瞬态状态，即短路后数个周波至几十个周波内）；
（3）直轴稳态电抗 $X_{d}$ （对应稳态状态，即短路电流衰减至稳定值后）。

在短路电流计算中，三种电抗的数值关系为 $X_{d}^{''} < X_{d}^{'} < X_{d}$ 。超瞬态电抗最小，因此短路初期的冲击电流最大；稳态电抗最大，稳态短路电流相对较小。

3. 短路状态分析

短路特性是发电机在同步转速下，电枢出线端三相稳态短路时，电枢电流（短路电流） $I_{k}$ 与励磁电流 $I_{f}$ 的关系曲线，如图3、图4 所示。

同步发电机短路特性为一直线，这是因为短路时发电机端电压 $U = 0$ ，且电枢绕组电阻 $R_{a}$ 很小可以忽略不计，电枢回路是纯电感电路，因此内功率因数角 $φ_{0} = 90^{\circ}$ ，电枢反应性质为直轴去磁，励磁磁动势和电枢反应磁动势互相抵消，合成的总磁动势和总磁通均很小，所以发电机铁芯是不饱和的。

同步发电机短路特性.png

图3 同步发电机短路特性

同步发电机短路特性相量图.png

图4 同步发电机短路相量图

为便于理解与分析，现对短路发生后（短路运行如图5所示），柴油发电机的三个状态分别进行分析。

（1）超瞬态分析

超瞬态是短路刚刚发生的一瞬间（通常指短路后0～0.05秒），柴油发电机的短路电流最大。如图6（a）所示，整个发电机由互感的三个电抗加一个线路总电抗 $X_{L}$ 构成，其中三个并联阻抗分别代表：

纵轴电枢反应磁通所走的磁路的磁阻（ $X_{a d}$ ）

励磁绕组漏磁通所走的磁路的磁阻（ $X_{f}$ ）

阻尼绕组漏磁通所走的磁路的磁阻（ $X_{k d}$ ）

故直轴超瞬态电抗为：

$X_{d}^{''} = X_{L} + {(\frac{1}{X_{a d}} + \frac{1}{X_{f}} + \frac{1}{X_{k d}})}^{- 1} ....................(公式5)$

（2）瞬态分析

在超瞬态过程中，阻尼绕组将会吸收能量，直至饱和，故将会在下一阶段，即瞬态中“消失”。瞬态下的柴发模型如图6所示：

故直轴瞬态电抗为：

$X_{d}^{'} = X_{L} + {(\frac{1}{X_{a d}} + \frac{1}{X_{f}})}^{- 1} ....................(公式6)$

对应公式（2）可知，瞬态时间常数为：

$τ_{d}^{'} = \frac{L}{R} = \frac{X_{L} + {(\frac{1}{X_{a d}} + \frac{1}{X_{f}})}^{- 1}}{R_{f}} ....................(公式7)$

其中 $R_{f}$ 是励磁绕组的电阻部分。

同步发电机短路运行.png

图5 同步发电机短路运行

发电机状态模型.png

图6 发电机状态模型

（3）稳态分析

在瞬态过程结束后，励磁绕组中的感应电流也衰减完毕，系统进入稳态短路状态。此时短路电流仅由稳态电抗 $X_{d}$ 限制， $X_{d} = X_{L} + X_{a d}$ 。稳态短路电流通常远小于超瞬态和瞬态短路电流。

4. 整合与对比分析

现将实际模型与理想模型相结合，对比公式（3），不难得出对应关系：

$I_{a c} (t) = \frac{V_{m}}{X_{d}^{''}} e^{- t / τ_{d}^{''}} + \frac{V_{m}}{X_{d}^{'}} e^{- t / τ_{d}^{'}} + \frac{V_{m}}{X_{d}} ....................(公式8)$

由于相加的电抗有部分加重复了，所以需要剪掉相应时间段内的直轴超瞬态电抗和直轴瞬态电抗的重复部分。同时， $τ_{d} = \infty$ ，故柴油发电机组的交流部分为：

$I_{a c} (t) = \frac{V_{m}}{X_{d}^{''}} e^{- t / τ_{d}^{''}} + (\frac{1}{X_{d}^{'}} - \frac{1}{X_{d}}) e^{- t / τ_{d}^{'}} + \frac{1}{X_{d}} ....................(公式9)$

直流分量为：

$I_{d c} (t) = \sqrt{2} I_{a c} (0) e^{- t / τ_{d c}} ....................(公式10)$

短路电流的有效值为： $I_{r m s} (t) = \sqrt{[I_{a c} (t)]^{2} + [I_{d c} (t)]^{2}} ....................(公式11)$

国际上短路电流交流分量的计算公式多为式（11），与《工业与民用配电设计手册》（第四版）给出的公式4.5-15（如下）略有差异：

$I_{a c} (t) = \frac{V_{m}}{X_{d}^{''}} e^{- t / τ_{d}^{''}} + \frac{V_{m}}{X_{d}^{'}} e^{- t / τ_{d}^{'}} + \frac{V_{m}}{X_{d}} ....................(公式12)$

经对比，手册中并没有在瞬态部分减掉重复的直轴稳态电抗，这对广大设计者造成了一定的困扰。综合整篇文章不难发现，手册中选取了特定的时间点 $t = T / 2$ （即半个周波，约0.01秒），发电机有可能处于瞬态状态下（取决于发电机特性），故可以不考虑之后的稳态电抗。对于非该时间点的短路电流计算，建议采用国际通式（8）、（9），否则会出现偏差。

三、短路电流计算的实际应用建议

1. 短路电流计算的目的与意义

柴油发电机短路电流的准确计算是电力系统设计中的重要环节，直接影响：

（1）开关设备选型：断路器的分断能力必须大于安装点可能出现的最大短路电流（含直流分量），否则在短路故障时断路器可能无法有效分断。

（2）保护装置整定：过电流保护、差动保护、接地保护的整定值需要依据短路电流的大小来确定动作阈值和延时时间。

（3）电缆热稳定校验：短路电流的热效应（ $I^{2} t$ ）必须小于电缆的热稳定允许值，否则电缆在短路过程中可能因过热而损坏。

（4）系统动稳定校验：短路电流产生的电动力效应需进行动稳定校验，确保母线、支持绝缘子等设备能承受短路冲击。

2. 计算方法选择建议

（1）对于初步设计阶段的估算：可采用手册简化公式（4.5-15），该方法计算简便，适用于工程初步估算。

（2）对于详细设计阶段的精确计算：应采用国际通式（8）、（9），考虑超瞬态、瞬态和稳态三个分量的完整衰减过程，以获得更准确的短路电流数值。

（3）对于保护装置整定：应根据保护动作时间（通常为0.1～0.5秒）选取对应时刻的短路电流值，而非仅取初始值。

（4）对于设备选型校验：应以最大短路电流值（即超瞬态分量最大值）作为校验依据，确保设备在最恶劣工况下的可靠性。

3. 计算误差分析

手册公式与国际通式的差异主要来源于对瞬态电抗重复部分的处理方式。在 $t = 0.01 秒（半个周波）时，瞬态分量和稳态分量的相对幅值取决于发电机的具体参数（$ $X_{d}^{''} / X_{d}^{'} / X_{d}$ 的比值）。对于 $X_{d}$ 较大（即稳态电抗较高）的发电机，忽略重复部分可能导致短路电流计算值偏低约5%～15%，在实际工程中需注意此偏差。

总结

计算柴油发电机的短路电流是设计电力系统的重要参数之一，提升短路电流的设计精度能大大提升系统的安全性与稳定性。本文就《工业与民用配电设计手册》（第四版）中的柴发短路计算公式进行了解读与分析。通过理想RL模型和实际发电机模型的对比分析，明确了超瞬态、瞬态和稳态三个阶段中直轴电抗的物理意义和计算公式，并解释了手册公式与国际通式的差异所在——手册公式针对 $t = T / 2$ 特定时间点的简化处理，忽略了瞬态分量中与稳态电抗重复的部分。建议工程设计者在实际计算中根据具体需求选择合适的方法：初步估算可采用手册公式，详细设计应采用国际通式，并充分考虑保护动作时间和设备选型要求，以确保柴油发电机供电系统的安全可靠运行。

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